- 已解决的著名难题（里程碑式的胜利），这些难题的解决过程本身就极大地推动了数学的进步。
- 悬而未决的“千禧年大奖难题”，2000 年，克莱数学研究所公布了 7 个数学难题，每个悬赏 100w 美元。至今，只有其中一个被解决。
- 其他著名的未解难题，除了千禧年难题，还有许多著名的猜想。
✅️ 费马大定理
- 问题：当整数 \( n > 2 \) 时，关于 \( x, y, z \) 的方程 \( x^n + y^n = z^n \) 没有正整数解。
- 作者：皮埃尔·德·费马（1637 年）
- 解决者：安德鲁·怀尔斯（1994 年）
- 故事：费马在书本边角写道：“我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”这个问题困扰了数学家 358 年。怀尔斯在闭关 7 年后，通过证明谷山-志村猜想（现代数论的核心猜想）完成了证明，其证明过程结合了现代数论多个领域的深刻成果。
✅️ 四色定理
- 问题：任何一张平面地图，只需四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
- 作者：弗朗西斯·古德里（1852 年）
- 解决者：肯尼斯·阿佩尔与沃尔夫冈·哈肯（1976 年）
- 故事：这是第一个主要依靠计算机辅助证明的著名数学定理。他们通过计算机对海量的可能地图构型进行了穷举验证，引发关于“计算机证明是否算数学证明”的哲学讨论。
✅️ 庞加莱猜想
- 问题：任何一个单连通的、封闭的三维流形是否一定同胚于三维球面？
- 作者：亨利·庞加莱（1904 年）
- 解决者：格里戈里·佩雷尔曼（2002-2003 年）
- 故事：佩雷尔曼使用理查德·汉密尔顿发展的“瑞奇流”方法证明了此猜想，并因此获得了 2006 年的菲尔兹奖，但他拒绝了该奖以及克莱数学研究所的 100 万美元奖金，行为非常超脱。
唯一已解决的千禧年难题：庞加莱猜想（已于 2003 年被佩雷尔曼解决，但克莱数学研究所的奖金颁发流程复杂，佩雷尔曼也拒绝了奖金）。
P vs NP 问题
- 问题：如果一个问题解的正确性可以很快地被验证（属于 NP 类），那么是否意味着这个问题也可以很快地被解决（属于 P 类）？
- 通俗解释：P 是容易解决的问题类（如排序），NP 是容易验证解的问题类（如数独）。P = NP 意味着所有能快速验证解的问题都能快速解决，这将彻底改变计算机科学、密码学和整个世界。但目前普遍认为 P ≠ NP。
- 现状：未解决。被认为是七个难题中最核心、最重要的一个。
黎曼猜想
- 问题：黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部是否都等于 \( \frac{1}{2} \)？
- 作者：波恩哈德·黎曼（1859 年）Georg Friedrich Bernhard Riemann
- 现状：未解决。被认为是纯数学中最重要的未解问题。
影响
该猜想的真假与质数的分布规律有着极其深刻的联系。数论中有超过一千条数学命题是以黎曼猜想的成立为前提的。如果被证明，将彻底革新我们对质数的理解。
简单直接的答案是：对于绝大多数现代密码学（尤其是我们每天都在使用的公钥密码体系），黎曼猜想被证明为真，短期内不会产生任何直接影响。它不会立刻让互联网加密瘫痪，也不会让你需要马上修改银行卡密码。
但是，这个答案背后有更深层次的影响和原因。我们来详细拆解一下。
### 核心结论：为什么没有“立竿见影”的影响？
现代公钥密码学（如 RSA、Diffie-Hellman、椭圆曲线密码等）的安全性基于一些计算上的困难问题，例如：
- 大整数分解问题：RSA 算法的安全基础。给定一个大的合数 n，将其分解为两个质因数 p 和 q 是非常困难的。
- 离散对数问题：Diffie-Hellman 密钥交换和 DSA 算法的安全基础。
黎曼猜想本身并不直接提供任何破解这些问题的算法。即使我们知道了黎曼猜想是正确的，我们仍然不知道如何快速地进行大整数分解或求解离散对数。这些问题的困难性是独立于黎曼猜想的。
### 那么，黎曼猜想对密码学的真正影响在哪里？
黎曼猜想的影响是间接的，但非常重要，主要体现在以下几个方面：
#### 1. 对质数分布的理解和质数测试
黎曼猜想的深层意义在于它描述了质数分布的规律。如果它为真，那么我们对质数分布的估计会变得极其精确。
- 质数定理：质数定理告诉我们小于 x 的质数大约有 x / ln(x) 个。这个“大约”是有误差的。
- 黎曼猜想与误差项：如果黎曼猜想为真，那么这个误差项会被严格限制在一个非常小的范围内。这意味着我们可以非常自信地知道在某个区间内（比如 between n and n + 1000）一定存在质数。
这会对质数生成产生影响：
- 更高效的质数生成：许多密码系统（如 RSA）需要生成非常大的随机质数。如果黎曼猜想为真，我们可以基于这个更强的分布定理，设计出更高效、更确定的算法来寻找质数。虽然我们已经有非常高效的质数测试算法（如 AKS 算法，它不依赖黎曼猜想），但黎曼猜想可以为在某些特定区域搜索质数提供理论指导。
#### 2. 对某些较弱密码系统的潜在威胁
虽然主流密码系统安全，但一些基于“弱”数论问题的、或设计不当的密码系统可能会受到威胁。
一个经典的例子是 Peralta 的“质数生成器”。他设计了一个伪随机数生成器，其安全性基于一个数论假设。他证明了：如果广义黎曼猜想成立，那么这个生成器是安全的。对于这类系统，黎曼猜想的证明就直接验证了其安全性（或者，如果黎曼猜想被证伪，则直接摧毁其安全基础）。不过，这类密码系统并非主流。
#### 3. 心理和理论上的深远影响
黎曼猜想是数学皇冠上的明珠，它与数论、解析函数等众多数学领域深度交织。
- 催生新的数学工具：证明黎曼猜想的过程，几乎必然会催生出全新的、强大的数学理论和工具。正如安德鲁·怀尔斯证明费马大定理时发展了模形式和椭圆曲线的理论一样。这些新的工具有可能在未来被密码学家利用，去分析甚至攻击现有的密码系统。这是一个未知的、但存在的可能性。
- 增强信心：许多数论算法在分析时都假设了广义黎曼猜想。如果黎曼猜想被证明，那么所有这些假设了 GRH 的算法和定理都将得到彻底的证实，整个数论和计算数论的基石将更加稳固。
### 一个需要警惕的“例外”：Shor 算法，这是一个非常重要的点，但它与黎曼猜想无关，经常被混淆。
对 RSA、ECC 等密码学构成实质性、毁灭性威胁的，是量子计算机和 Shor 算法。Shor 算法可以在多项式时间内解决大整数分解问题和离散对数问题。
- 黎曼猜想：是一个数学猜想，即使被证明，也是在经典计算机模型下。
- Shor 算法：是一个算法，它在量子计算机模型下运行。
两者完全不在一个层面上。如果大规模量子计算机成为现实，那么无论黎曼猜想是真是假，当前的公钥密码体系都需要被推翻重建（届时我们会转向抗量子密码学）。
纳维-斯托克斯存在性与光滑性
- 问题：在三维空间中，给定一个初始的流速场，描述粘性流体运动的纳维-斯托克斯方程是否存在一个始终光滑的解？（或者说，会不会在有限时间内产生奇点 / 湍流爆炸？）
- 重要性：该方程是流体力学（从天气预报到飞机设计）的基础。证明解的存在性和光滑性，意味着我们从数学上完全理解了这些方程，对于理解湍流等现象至关重要。
- 现状：未解决。
杨-米尔斯存在性与质量间隙
- 问题：证明对于任何紧的单群规范场，四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在，并且存在一个质量间隙（即最轻的粒子的质量不为零）。
- 重要性：这是理论物理学的核心问题。杨-米尔斯理论是描述基本粒子（夸克、胶子等）的标准模型的基础。证明其数学严谨性并解释“质量间隙”为何存在（为什么粒子有质量），是连接数学和物理的宏伟桥梁。
- 现状：未解决。
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
- 问题：对于有理数域上的椭圆曲线，其相关的 L 函数在 1 处的零点阶数等于该曲线有理点群的秩。
- 通俗解释：它将两个完全不同的数学领域联系起来：一个是代数（椭圆曲线的算术），另一个是分析（L 函数的解析性质）。它是解决费马大定理过程中关键的一环。
- 现状：未解决。
霍奇猜想
- 问题：在非奇异复射影代数簇上，某些特定类型的拓扑周期（霍奇类）是否都可以用代数簇的子簇来表示？
- 通俗解释：它试图在复杂的几何物体（流形）上，建立“形状的拓扑学”和“方程的代数学”之间的深刻联系。
- 现状：未解决。
哥德巴赫猜想
- “任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和。” 陈述简单，但至今未证，是数论的经典难题。
孪生质数猜想
- 是否存在无穷多个质数对，相差为 2？（如 3 和 5，5 和 7，11 和 13…）。张益唐在 2013 年取得了突破性进展，证明了存在无穷多对质数，其间隔小于 7000 万，此后这个上限被不断缩小，但尚未完全证明。
科拉茨猜想（3n+1 猜想）
- 对于一个正整数，如果它是奇数就乘 3 加 1，如果是偶数就除以 2，最终都会陷入 4→2→1 的循环。是否对所有正整数都成立？
参考
DeepSeek / 世界知名的数学难题