认识
数学的主要目标是通过逻辑推理和抽象思维来解决问题，发现模式和规律，并建立精确的推理体系。
组成
针对数学知识的深度、广度、抽象程度，能够将数学进行分类为「初等数学」、「高等数学」。针对初等数学和高等数学，我们的认识是：好比，在计算机科学中，我们开发了一个软件来解决问题。伴随着不断的更新迭代，软件越来越复杂，早已不是最开始的样子。
初等数学
其主要研究基础的数学概念和原理，为进一步学习更高级数学知识的基础。
一、知识深度方面 | 初等数学主要涵盖了较为基础的数学知识，如代数中的有理数、无理数运算，一元一次方程、一元二次方程等的求解；几何中的平面图形的性质和计算，如三角形、四边形的周长、面积等。这些内容相对直观、具体，容易通过生活中的实例来理解。
二、知识广度方面 | 初等数学的知识范围相对有限，主要集中在数与代数、图形与几何、统计与概率等几个领域。这些领域的问题通常较为具体，解法也相对固定。
三、抽象程度方面 | 初等数学的概念和问题通常比较具体，抽象程度较低。例如，在学习三角形的内角和时，可以通过实际测量三角形的三个内角来验证内角和为 180 度，这种学习方式较为直观。
高等数学
其是数学的一个重要分支，主要研究一些更抽象、更深度的数学概念和方法。
一、知识深度方面 | 高等数学则深入探讨更加复杂和抽象的数学概念。例如极限的概念，它是微积分的基础，需要通过严格的逻辑推理和数学定义来理解，不像初等数学中的概念那样可以直接通过观察得到。再如多元函数的微积分，涉及到多个变量的函数关系，其计算和分析的难度远远超过初等数学中的函数。
二、知识广度方面 | 高等数学则涵盖了更多的领域，如微积分、线性代数、概率论与数理统计、复变函数等。这些领域的知识相互关联，共同构成了一个更加庞大和复杂的数学体系。例如，在工程、物理等领域的问题中，常常需要综合运用高等数学中的多个分支知识来解决。
三、抽象程度方面 | 高等数学则具有高度的抽象性。比如，在抽象代数中，研究的对象是各种抽象的代数结构，如群、环、域等，这些概念脱离了具体的数值和图形，需要通过严格的定义和逻辑推理来理解。又如在拓扑学中，研究的是空间的拓扑性质，不依赖于具体的度量和形状，具有极高的抽象性。
高等数学 | 知识体系 | 高等数学 | Advanced Mathematics
针对数学知识体系，参考国标 GBT13745-2009 的划分。
知乎 / 数学知识体系大纲 / https://zhuanlan.zhihu.com/p/451567037
研究对象 | 数量、结构、空间、变化、……
数学的研究对象主要包括以下几个方面：
一、数量关系
- 涵盖自然数、整数、有理数、无理数和复数等。自然数用于计数，整数在加减法和乘法运算下构成封闭系统。有理数可表示为两个整数之比，无理数不能如此表示，它们共同组成实数集。复数由实数和虚数组成，在电气工程、量子力学等领域有重要应用。
二、空间形式
- 包含几何图形如点、线、面、体及各种由其组成的图形。几何学研究这些图形的性质、度量和变换，在工程设计、建筑设计和计算机图形学中广泛应用。
- 涉及不同维度的空间，从一维到三维乃至更高维度。三维空间中可用坐标表示物体位置，向量运算研究物体运动和方向。相对论和量子力学等涉及高维空间概念。
- 拓扑学研究空间在连续变形下的不变性质，关注连接性和整体性，在网络理论、生物学和材料科学等领域有应用。
三、结构与模式
- 代数结构有群、环、域等，具有特定运算规则和性质，用于研究数学对象的对称性、变换和分类，在晶体结构研究、密码学、代数几何和数论等领域有重要作用。
- 逻辑结构包括命题逻辑和谓词逻辑等，用于推理、证明和建立数学理论基础，在计算机科学中也广泛应用。
- 数列是按一定顺序排列的一组数，级数由数列项相加而成，研究涉及极限、收敛性和求和等问题，在金融计算和物理学等领域有应用。
- 函数关系描述变量之间的关系，将输入变量映射到输出变量，其性质包括单调性、奇偶性和周期性等，在物理学、工程学和经济学等领域广泛应用。
性质
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应用
初等数学的应用广泛且多样，以下是一些常见的例子：
- 经济学：利润、损失和利率等经济概念都需要使用初等数学中的百分比、代数和基本算术。
- 工程和建筑：对于设计和建筑工程，几何学和测量是至关重要的。例如，用于计算面积、体积、角度等。
- 计算机科学：二进制数和逻辑运算都是计算机科学的基础，这些都需要初等数学的知识。
- 医学：在药物剂量计算、生物统计、流行病学和基因学等多个医学领域，都需要使用到初等数学的概念。
- 物理：初等数学，特别是代数和几何，对于理解和解决物理问题至关重要。
- 生活中的应用：比如计算税额、计算折扣、制定预算、测量配方所需的食材等，都需要初等数学的知识。
在科学、工程、经济学等领域中，数学有广泛的应用，也是培养逻辑思维和解决问题能力的重要工具。以上只是初等数学应用的一部分，实际上，无论是科学、艺术、商业还是日常生活，初等数学都发挥着重要的作用。
参考
从认识、组成、性质、应用、改进方面来介绍数学 —— ChatGPT 4.0
数学的各个发展阶段 —— ChatGPT 4.0
DeepSeek / 整个数学大厦的基础是什么